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数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) （「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。 == ホモロジー群の構成 == ホモロジー群は以下のような手続きを経て作られる。 数学的対象、たとえば位相空間 ''X'' が与えられたとき、まず ''X'' の情報を抽出したチェイン複体 ''C''(''X'') を構成する。チェイン複体はアーベル群や加群 ''C''0, ''C''1, ''C''2, ... を境界作用素とよばれる群準同型 ∂''n'': ''Cn'' → ''C''''n''-1 でつないだもの : である。ただし、0 は自明な群を表し、''i'' < 0 に対しては ''Ci'' ≡ 0 と定義する。 さらに、境界作用素 2 つの合成はいつでも 0 であるという要求も付け加える。つまり、すべての ''n'' に対して、 : であるとする。右辺の 0 は群 ''C''''n''-1 の単位元への定数写像を意味する。このことは im(∂''n''+1) ⊆ ker(∂''n'') を意味する。 いま、各 ''Cn'' はアーベル群なので、im(∂''n''+1) は ker(∂''n'') の正規部分群である。さらに、この部分群を無視して考えたい。つまり、その差が im(∂''n''+1) に属するような 2 つの元は同値とみなし、ker(∂''n'') をその同値関係で分割するのである。''X'' の ''n'' 次ホモロジー群 を剰余群（あるいは剰余加群） : ''Hn''(''X'') = ker(∂''n'') / im(∂''n''+1) によって定義する。また、ここでは ker(∂''n'') = ''Zn''(''X'') と書き、im(∂''n''+1) = ''Bn''(''X'') と書く。すると、 : ''Hn''(''X'') = ''Zn''(''X'') / ''Bn''(''X'') である。ホモロジー群の元をホモロジー類という。 上の 2 つの群 ''Zn''(''X'') と ''Bn''(''X'') は巨大な群であることが多く計算は難しい一方で、その商であるホモロジー群 ''Hn''(''X'') を計算するには、さまざまな道具がある。 単体複体 ''X'' の 単体的ホモロジー群 ''Hn''(''X'') は、各 ''n'' に対して ''C''(''X'')''n'' を ''X'' の ''n'' 単体全体で生成される自由アーベル群として得られる単体的チェイン複体 ''C''(''X'') によって定義される。特異ホモロジー群は任意の位相空間 ''X'' に対して定義され、単体複体については単体的ホモロジー群と一致する。 チェイン複体が完全系列であるとは、(''n'' + 1) 番目の写像の像が、常に ''n'' 番目の写像の核に一致することである。''X'' のホモロジー群はしたがって、それから決まるチェイン複体が「どれだけ完全でないか」を測る量である。 コホモロジー群の定義も形式的には同様である。まず、コチェイン複体から始める。これはチェイン複体とほとんど同じものであるが、群のあいだをつなぐ矢印は ''n'' の減少方向ではなく ''n'' の増加方向を向いている。矢印を ''dn'' で表すことにすると、群 ker(''dn'') = ''Zn''(''X'') および群 im(''d''''n''-1) = ''Bn''(''X'') は同じように定義され、さらに同様にコホモロジー群 : ''Hn''(''X'') = ''Zn''(''X'') / ''Bn''(''X'') を得る。 : ''Hn''(''X'') = ker(∂''n'') / im(∂''n''+1) によって定義する。また、ここでは ker(∂''n'') = ''Zn''(''X'') と書き、im(∂''n''+1) = ''Bn''(''X'') と書く。すると、 : ''Hn''(''X'') = ''Zn''(''X'') / ''Bn''(''X'') である。ホモロジー群の元をホモロジー類という。 上の 2 つの群 ''Zn''(''X'') と ''Bn''(''X'') は巨大な群であることが多く計算は難しい一方で、その商であるホモロジー群 ''Hn''(''X'') を計算するには、さまざまな道具がある。 単体複体 ''X'' の 単体的ホモロジー群 ''Hn''(''X'') は、各 ''n'' に対して ''C''(''X'')''n'' を ''X'' の ''n'' 単体全体で生成される自由アーベル群として得られる単体的チェイン複体 ''C''(''X'') によって定義される。特異ホモロジー群は任意の位相空間 ''X'' に対して定義され、単体複体については単体的ホモロジー群と一致する。 チェイン複体が完全系列であるとは、(''n'' + 1) 番目の写像の像が、常に ''n'' 番目の写像の核に一致することである。''X'' のホモロジー群はしたがって、それから決まるチェイン複体が「どれだけ完全でないか」を測る量である。 コホモロジー群の定義も形式的には同様である。まず、コチェイン複体から始める。これはチェイン複体とほとんど同じものであるが、群のあいだをつなぐ矢印は ''n'' の減少方向ではなく ''n'' の増加方向を向いている。矢印を ''dn'' で表すことにすると、群 ker(''dn'') = ''Zn''(''X'') および群 im(''d''''n''-1) = ''Bn''(''X'') は同じように定義され、さらに同様にコホモロジー群 : ''Hn''(''X'') = ''Zn''(''X'') / ''Bn''(''X'') を得る。 ホモロジー類という。 上の 2 つの群 ''Zn''(''X'') と ''Bn''(''X'') は巨大な群であることが多く計算は難しい一方で、その商であるホモロジー群 ''Hn''(''X'') を計算するには、さまざまな道具がある。 単体複体 ''X'' の 単体的ホモロジー群 ''Hn''(''X'') は、各 ''n'' に対して ''C''(''X'')''n'' を ''X'' の ''n'' 単体全体で生成される自由アーベル群として得られる単体的チェイン複体 ''C''(''X'') によって定義される。特異ホモロジー群は任意の位相空間 ''X'' に対して定義され、単体複体については単体的ホモロジー群と一致する。 チェイン複体が完全系列であるとは、(''n'' + 1) 番目の写像の像が、常に ''n'' 番目の写像の核に一致することである。''X'' のホモロジー群はしたがって、それから決まるチェイン複体が「どれだけ完全でないか」を測る量である。 コホモロジー群の定義も形式的には同様である。まず、コチェイン複体から始める。これはチェイン複体とほとんど同じものであるが、群のあいだをつなぐ矢印は ''n'' の減少方向ではなく ''n'' の増加方向を向いている。矢印を ''dn'' で表すことにすると、群 ker(''dn'') = ''Zn''(''X'') および群 im(''d''''n''-1) = ''Bn''(''X'') は同じように定義され、さらに同様にコホモロジー群 : ''Hn''(''X'') = ''Zn''(''X'') / ''Bn''(''X'') を得る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ホモロジー (数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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